Erwan Brugallé
Titre / Grade : Professeur
Prénom : Erwan
Nom : Brugallé
Institution : Université de Nantes
Pays : France
Titre du cours : Topologie des variétés algébriques complexes et réelles
Résumé du cours :
Dans ce cours, nous nous intéresserons principalement aux solutions des équations :
1. P(x)=0
2. P(x,y)=0
où P est un polynôme en une ou deux variables.
On sait depuis les travaux de Legendre, Abel, Ruffini et Galois qu’il est en général vain d’espérer obtenir
les solutions exactes d’une telle équation. Nous nous intéresserons donc plutôt à la topologie, ou la forme,
de l’ensemble des solutions de ces équations.
Nous commencerons par le cas, déjà étudié, des polynômes à une variable.
1-a. Un polynôme complexe de degré d a d racines complexes (comptées avec multiplicité) ;
1-b. Le nombre de racines réelles d'un polynôme réel de degré d est compris entre 0 et d, et est égal à d modulo 2.
Nous donnerons deux preuves de ces résultats : une preuve classique de licence, et une probablement nouvelle.
L’intérêt de cette dernière est qu’elle permettra d’appréhender l’étude des courbes algébriques,
c'est-à-dire l’ensemble solution d’une équation polynomiale a deux variables.
Si le temps le permet, nous aborderons l’étude de la topologie des surfaces algébriques dans l’espace.
